一阶线性微分方程-1

Author : 张一极
19:00-20201031

1.变量可分离型

特点:

可以将两个变量分离到等式两边 :

\begin{array}{l}1.\frac{d y}{d x}=5 x y \\ 2.\frac{d y}{y d x}=5 x \\ 3.\frac{d y}{y }=5 x d x\end{array}

简单微分方程

解:

\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{1+x^{2}}

将y移到等式另一边,dx移到另一侧 :

\frac{1}{\mathrm{y}} \mathrm{dy}=\frac{2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^{2}} \mathrm{d} \mathrm{x}

同时求积分 :

\int \frac{1}{y} d y=\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x

得到 :

ln(y) = ln(1+x^2) + ln(K) \\ [ln(K)=C]~~任意常数

继而同时取对数 , 结果:

y=K(1+x^2)

普通微分方程 :

\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+y^{2}=1

首先确定类型 :

变量可以分离到两边

\frac{d y}{d x}=\pm \sqrt{1-y^{2}}

\frac{d y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\pm d x

\arcsin y=\pm x+C

$~y=sin(x+C)$

$~y=\pm 1$ 也是解

特定解

解:

\left\{\begin{array}{l}\sin x \frac{d y}{d x}=y \ln y \\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=e\end{array}\right.

1.\frac{d y}{y \ln y}=\frac{d x}{\sin x}

2.分别取积分:

2.\int_{}^{}\frac{1}{ylny}dy=\int_{}^{}\frac{1}{sinx}dx

3.计算:

3.ln(lny)=ln(cscx-cotx)+lnC

$\int_{}^{}\frac{1}{sinx}dx$ ,应该如此计算:
$\int_{}^{}\frac{1}{sinx}dx=\int_{}^{}cscxdx=ln(cscx-cotx)'$
其中 :
$ln(cscx-cotx)'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\=\frac{1}{cscx-cotx}\cdot (cscx-cotx)'~~~~~~~~~~~~~~~ \\=\frac{1}{cscx-cotx}\cdot (-cscxcotx+(\frac{cosx}{sinx})')\\ =\frac{1}{cscx-cotx}\cdot(csc^2x-cscxcotx)~~~~~~~~ \\=\frac{1}{cscx-cotx}\cdot(cscx(csc-cotx))~~~~~~~~~ \\~~=cscx~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\~~=\frac{1}{sinx}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$
~~仅作记录~~

结果

lny=C(cscx-cotx)

$~y(\frac{\pi}{2})=e$

$y=e^{cscx-cotx}$

更复杂一些的情况

\int_{1}^{x} f(t) d t=\left(x^{3}+x^{2}\right) f(x)-2

$~f(x)$

1.首先代入积分上限,即左右求导:

f(x)=\left(x^{3}+x^{2}\right) f^{\prime}(x)+\left(3 x^{2}+2 x\right) f(x)

2.转移:

\left(x^{3}+x^{2}\right) y^{\prime}=\left[1-\left(3 x^{2}+2 x\right)\right] y

3.分离变量:

\frac{d y}{y}=\left(\frac{1}{x^{3}+x^{2}}-\frac{3 x^{2}+2 x}{x^{3}+x^{2}}\right) d x

4.两侧同时积分:

\begin{array}{l}\ln y\\=\int\left(\frac{1}{x^{3}+x^{2}}-\frac{3 x^{2}+2 x}{x^{3}+x^{2}}\right) d x \\ =\int \frac{1}{x^{3}+x^{2}} d x-\int \frac{3 x^{2}+2 x}{x^{3}+x^{2}} d x\\=\int\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x-\int \frac{3 x^{2}+2 x}{x^{3}+x^{2}} d x \\ =\ln (1+x)-\ln x-\frac{1}{x}-\ln \left(x^{3}+x^{2}\right)+\ln C\end{array}

5.可求y,同时指数化 :

y=C \frac{1}{x^{3}} e^{-\frac{1}{x}}

~~指数化推导部分存疑,待实现重新整理,其余可以放心食用~~

End
22:35-20201031